雷锋网按：本文原作者李飞腾，本文整理自知乎专栏——数字编程。雷锋网已获得转载授权。
如果能二秒内在脑袋里解出下面的问题，本文便结束了。
已知：，其中
。
求：，
，
。
到这里，请耐心看完下面的公式推导，无需长久心里建设。
首先，反向传播的数学原理是 “求导的链式法则” :
设和
为
的可导函数，则
。
接下来介绍
矩阵、向量求导的维数相容原则
利用维数相容原则快速推导反向传播
编程实现前向传播、反向传播
卷积神经网络的反向传播
这一节展示如何使用链式法则、转置、组合等技巧来快速完成对矩阵、向量的求导
一个原则维数相容，实质是多元微分基本知识，没有在课本中找到下列内容，维数相容原则是我个人总结：
维数相容原则：通过前后换序、转置 使求导结果满足矩阵乘法且结果维数满足下式：
如果，
，那么
。
利用维数相容原则解上例：
step1：把所有参数当做实数来求导，，
依据链式法则有，
，
可以看出除了，
和
的求导结果在维数上连矩阵乘法都不能满足。
step2：根据 step1 的求导结果，依据维数相容原则做调整：前后换序、转置
依据维数相容原则，但
中
、
，自然得调整为
；
同理：，但
中
、
，那么通过换序、转置我们可以得到维数相容的结果
。
对于矩阵、向量求导：
“当做一维实数使用链式法则求导，然后做维数相容调整，使之符合矩阵乘法原则且维数相容” 是快速准确的策略；
“对单个元素求导、再整理成矩阵形式” 这种方式整理是困难的、过程是缓慢的，结果是易出错的（不信你试试）。
如何证明经过维数相容原则调整后的结果是正确的呢？直觉！简单就是美...
神经网络的反向传播求得 “各层” 参数和
的导数，使用梯度下降（一阶 GD、SGD，二阶 LBFGS、共轭梯度等）优化目标函数。
接下来，展示不使用下标的记法（,
or
）直接对
和
求导，反向传播是链式法则和维数相容原则的完美体现，对每一层参数的求导利用上一层的中间结果完成。
这里的标号，参考 UFLDL 教程 - Ufldl
前向传播：
（公式 1）
（公式 2）
为第
层的中间结果，
为第
层的激活值，其中第
层包含元素：输入
，参数
、
，激活函数
，中间结果
，输出
。
设神经网络的损失函数为（这里不给出具体公式，可以是交叉熵、MSE 等），根据链式法则有：
这里记 ，其中
、
可由 公式 1 得出，
加转置符号
是根据维数相容原则作出的调整。
如何求 ？ 可使用如下递推（需根据维数相容原则作出调整）：
其中、
。
那么我们可以从最顶层逐层往下，便可以递推求得每一层的
注意：是逐维求导，在公式中是点乘的形式。
反向传播整个流程如下：
1) 进行前向传播计算，利用前向传播公式，得到隐藏层和输出层 的激活值。
2) 对输出层 (第层)，计算残差：
（不同损失函数，结果不同，这里不给出具体形式）
3) 对于的隐藏层，计算：
4) 计算各层参数、
偏导数：
大部分开源 library（如：caffe，Kaldi/src/{nnet1,nnet2}）的实现通常把、
作为一个 layer，激活函数
作为一个 layer（如：sigmoid、relu、softplus、softmax）。
反向传播时分清楚该层的输入、输出即能正确编程实现, 如：
(公式 1)
(公式 2)
(1) 式 AffineTransform/FullConnected 层，以下是伪代码：
注: out_diff = 是上一层（Softmax 或 Sigmoid/ReLU 的 in_diff）已经求得：
（公式 1-1）
（公式 1-2）
（公式 1-3）
(2) 式激活函数层（以 Sigmoid 为例）
注：out_diff = 是上一层 AffineTransform 的 in_diff，已经求得,
在实际编程实现时，in、out 可能是矩阵 (通常以一行存储一个输入向量，矩阵的行数就是 batch_size)，那么上面的 C++ 代码就要做出变化（改变前后顺序、转置，把函数参数的 Vector 换成 Matrix，此时 Matrix out_diff 每一行就要存储对应一个 Vector 的 diff，在 update 的时候要做这个 batch 的加和，这个加和可以通过矩阵相乘 out_diff*input（适当的转置）得到。
如果熟悉 SVD 分解的过程，通过 SVD 逆过程就可以轻松理解这种通过乘积来做加和的技巧。
丢掉那些下标记法吧！
卷积怎么求导呢？实际上卷积可以通过矩阵乘法来实现（是否旋转无所谓的，对称处理，caffe 里面是不是有 image2col），当然也可以使用 FFT 在频率域做加法。
那么既然通过矩阵乘法，维数相容原则仍然可以运用，CNN 求导比 DNN 复杂一些，要做些累加的操作。具体怎么做还要看编程时选择怎样的策略、数据结构。
快速矩阵、向量求导之维数相容大法已成。
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岑大师