提起矩阵计算，学过《高等数学》的人可能都听过，但若不是这个领域的研究者，恐怕也只停在“听过”的程度。在矩阵计算领域，开源项目OpenBLAS影响巨大，除IBM、华为等巨头公司在使用外，还吸引了全球的研究院校、开发者们关注。
雷锋网 AI 研习社近日有幸邀请到了澎峰科技创始人、OpenBLAS项目创始人和主要维护者张先轶，他将为我们介绍OpenBLAS开源项目以及矩阵乘法的优化。
张先轶，中国科学院博士，MIT博士后，OpenBLAS开源项目创始人和主要维护者，PerfXLab澎峰科技创始人。曾获2016年中国计算机学会科技进步二等奖。
张先轶师从张云泉教授，在中科院取得高性能计算博士学位。读博期间，基于GotoBLAS的原有基础，他创建了开源矩阵计算库OpenBLAS，领导团队不断进行修补和维护，目前在矩阵计算的细分领域，成为影响力较大的开源项目。
他在MIT萌生创业想法，归国之后，针对“深度学习”，创办PerfXLab澎峰科技，为计算机视觉、语音识别等公司提供一体化性能优化方案。雷锋网【新智造】频道此前曾采访并报道了PerfXLab澎峰科技。
OpenBLAS项目介绍
矩阵乘法优化算法
一步步调优实现
以下为公开课完整视频，共64分钟：
以下为公开课内容的文字及 PPT 整理。
雷锋网的朋友们大家好，我是张先轶，今天主要介绍一下我们的开源矩阵计算库OpenBLAS以及矩阵乘法的优化。
首先，什么是BLAS？
BLAS是 Basic Linear Algebra Subprograms （基本线性代数子程序）的首字母缩写，主要用来做基础的矩阵计算，或者是向量计算。它分为三级：
BLAS 1级，主要做向量与向量间的dot或乘加运算，对应元素的计算；
BLAS 2级，主要做矩阵和向量，就类似PPT中蓝色部分所示，矩阵A*向量x， 得到一个向量y。除此之外，可能还会有对称的矩阵变形；
BLAS 3级，主要是矩阵和矩阵的计算，最典型的是A矩阵*B矩阵，得到一个C矩阵。由矩阵的宽、高，得到一个m*n的C矩阵。
为什么BLAS是一个非常重要的库或者接口，是因为它是很多科学计算的核心之一。每年做超级计算机的排行榜，都要做LINPACK测试，该测试很多部分就是做BLAS 3级矩阵和矩阵的计算。此外，还有很多科学和工程的模拟，在转换后都变成了一种矩阵上的操作。如果你把矩阵优化的特别好的话，对整个应用的提升，都是非常有帮助的。
BLAS与 Deep Learning 的关系，深度学习这几年火了之后，比如大家非常了解的Alexnet，如果做具体的性能划分，PPT上的这张图来源于某篇论文，cut down之后看每个部分花了多少时间，发现它大部分的时间花费在卷积层（Conv Layer），另外不少时间花在了全连接层（FC layer）。卷基层目前通用的实现是展成矩阵，变成矩阵与矩阵的乘法，就是BLAS 3级。而全连接层一般是变成一个矩阵和向量的乘法，也落成了BLAS操作。
也就是说，基于矩阵类学习的深度学习，有90%或者更多的时间是通过BLAS来操作的。当然，随着新的算法出现，卷积层对3*3的卷积核有专门的算法，或者用FFT类类算法也可以做，但是在通用上，展矩阵来做也非常广泛。
目前，BLAS只是一个定义了的实现接口，但是具体的实现其实有很多种。从商业的角度来讲，存在很多商业版本，比如说 Intel、AMD、NVIDIA、IBM公司等，基本上为了搭配自己的硬件，对其做了更优的优化，出了商业版本。
针对开源的而言，有如下几种，之前比较知名的是GoToBLAS，和OpenBLAS有很深的渊源，但是在2010年终止开发了，有时间在给大家分析其背后的原因，主力的开发人员后藤，离开了UT Austin的研究组，进入了公司，就终止了开发。ATLAS是美国一个学校做的，OpenBLAS是我们基于GotoBLAS做的，BLIS是后藤走了之后，基于GotoBLAS扩展出来的一个项目，目前还处在相对早期的阶段，成熟度还差一些。
OpenBLAS历史已经有几年了，从2011年初开始进入，最初的原因是GotoBLAS放弃了，我们重新fork了一个社区发行版，继续开发和维护，它的维护不是一个简单修BUG的过程，如果想要获得比较好的性能，需要不停跟着硬件走，比如说新出一种新的硬件架构，或者适配更广的硬件架构，都要进行一定的优化，来获得比较好的加速效果。OpenBLAS算是目前全球最好的开源矩阵计算库，在去年的时候得到了中国计算机学会科技进步二等奖，同时也进入了很多主流的Linux安装包，比如说Ubuntu里面就有我们的OpenBLAS Package，你能想到的Linux发行版几乎都进去了，但这不是我们主动去做的。还有一个OpenHPC的套件，也是最近做高性能计算的一个源。
目前OpenBLAS的进展是，支持几乎全部的主流CPU处理器，同时都能达到比较好的优化性能。从操作系统来说，基本上常见主流的OS都支持。整体上，从适配的处理器范围和支持的操作系统，在开源库中算是最广的实现。
因此，OpenBLAS的用户也是比较多的。比如有开源项目Julia语言、GNU octave等；深度学习方面有大家熟悉的mxnet、Caffe都可以选OpenBLAS，作为CPU端的计算backend; IBM公司、ARM公司也都在他们的产品里边使用了OpenBLAS，NVIDIA公司在做一些跟CPU的对比测试时，把OpenBLAS列为了一个基准。其他还有一些做编译器的以色列创业公司，还有国内的一些互联网公司，比如搜狗。前段时间还和搜狗公司的人聊过，我们的库在线上已经稳定运行一年多以上的时间，所以说它的工程质量上还是还是可以的。
IBM前段时间，因为深度学习非常火，做了一个Power AI的软件框架，可以看到，最上面一层是一些开源的框架，底层的计算中就有我们的OpenBLAS。当然是为了搭载他的服务器。
简要的看一下性能，BLAS库的性能是越高越好。在Intel的 Sandy Bridge平台上，相比MKL的性能，基本上是重合在一起的，达到了一个相当的性能。
这张图展示了在龙芯上做的一个结果，测得比较全，整体的BLAS多线程的，性能全测试了，性能比较高的都是我们，提高了一倍到两倍。这是因为我们针对龙芯3A做了优化，所以取得了非常好的效果。
刚才主要介绍了OpenBLAS的性能和效果，我们在GitHub上做了托管，欢迎对矩阵乘法或优化感兴趣的同学能加入进来，贡献代码，我们公司愿意拿出一笔钱来支持这个项目继续往前走。接下来会开始一些技术类的干货，主要讲一下大家对优化比较感兴趣的部分，我参考了矩阵乘法的这几篇教程，UT Austin Flame组做的教程。我把他的内容基本上是抠出来了，一步步带着大家过一下，如果我们从最简单的矩阵乘法实现，到一个高性能的矩阵乘法实现，大概是几步，怎么来的？或者是为什么优化，每一步能获得多少性能收益。这样大家对于一些优化的其他程序，希望能提供一些帮助。
我们首先看一下基本实现。
我想只要学过《线性代数》之类的，这种矩阵乘法，是一个非常简单的问题，如果转换成C代码来做的话，就是一个三重循环，我在这张图里列出了一个【i j k】的三重循环，这里面矩阵乘法的代码就已经是，它实现的功能就是矩阵A*矩阵B，加到矩阵C里面，C是结果矩阵，这里面C的代码，和在课本上看到的累加的公式是一样的。找到i行，对应这个位置的结果C，把i行的每个元素，都取出来乘以B列，对应的乘，然后加起来就可以得到这个结果。但是这种实现，如果你放到现在的处理器上跑性能的话，和优化后的BLAS库的实现，性能会差很多倍，甚至会差10倍。
为什么呢，我们就做了一下最后的性能测试
这张图也是截自教程里，代表了一个性能图，越高越好。这里的测试平台是Intel core i5 ，只是测了单线程，没管多线程的事情。这种初始实现可能是1 GFlop/s。随着规模变大，矩阵的性能在下降是为什么呢？因为在实现的过程中，没有考虑到cache的原因，当矩阵比较小的时候，速度还能快一些，当矩阵大了的时候，一定会跌下去，所以图里就有一个下滑的过程。
这个是非常原始、基础的实现。
再往上走一步，怎么样才能再稍微优化一下。我们需要把矩阵的乘法顺序调一下，我们在这里做了一个小的分块，把p单独提到了一个函数里，以点乘的形式写出来，每次做一个1*4的结果，单独提出来变成一个函数。p的这一步，要把计算顺序稍微换一下，把i放到里面，j放到外面，这块背景为什么要换一下，实际上是因为我们假设矩阵在存储的时候是以列优先存储的，在列项的数值是连续存储，行之间是有间隔的，这对于仿存更有优势。变成这样的实现之后，对整体的性能其实没什么帮助，那为什么换成这种形式来写呢，是为了之后的优化，留下一定的空间。
当矩阵比较小，在cache里面的时候，性能基本是没什么变化的，但是超过cache的时候，它的性能稍微好了一点，从刚才非常低的值，也达到了接近1GFlop/s主要的原因是对A(0,p)做了一定的复用，它省了一些cache。另外一方面，它本身在做循环的利用来说，相当于比这部分做了一定循环的展开，所以在效率上得到了一定的提升。
这块的复用，只从内存读取一次，所以对超过cache的情况有了一定改善。
在这个基础上，我们就需要看一下有什么更好的方法来做优化。我们的基准就是，AddDot1*4的基准上怎么做，我们想到第一点做的是，我们可不可以用寄存器变量来做，而不是操作内存。我可以申请一堆C 00，01这样的寄存器变量，在C语言中是register double，还有矩阵A的部分，也用寄存器变量。
剩下的操作都是一些寄存器的变量，当然B还是之前的方式，最后再写回C里面。它完成的流程基本跟与之前的实习一样，只是我们引入了寄存器变量，让更多的数据保存到寄存器里，而不是放到cache缓存里，来减轻cache的压力，这也能获得一部分性能的提升。
可以看到，红色的线是我们优化后的性能，达到了2GFlop/s，蓝色的线是之前的性能，这里做的优化就是利用寄存器降低cache的消耗，取得了50%左右的性能提升。完成了这一步之后，我们还可以再怎么样做优化呢？
我们刚才在A、C的部分，已经用寄存器做了替换，那么B仿存这部分，我们有没有可能也做一些优化。在之前实现的时候，B部分每次的坐标计算都需要算出来，B访问每个位置都要算一次，这样就引入了额外的开销，其实是可以避免的。
我们使用指针的方式，一开始先把对应的指针位置指好，每次计算的时候只要指针连续移动就好，而不是每次读一个位置重新算一遍，这样速度就会快一些。
我们看一下，做完这个小优化之后，降低了B index的消耗之后，从刚才的2G F…达到了4G的性能。这块的改善对于小矩阵有效果，大矩阵全都超出了cache范围，就不会有效果的。所以假设矩阵都在cache里面，这块也获得了不小的性能提升。
当你完成这一部分的时候，你可以想，我把A矩阵做了寄存器替换，B矩阵通过index改进，我们下一步还能怎么做？
其实就是一个比较常用的方式，做展开。
在最里层循环，是不是可以展开成4次，在做这个的时候，我们可以降低整个循环这部分的开销，而且让它流水的情况更好。
这部分也会对性能有一些改善。这张图比较的当初在中间阶段的时候比起开始阶段，得到了多少提升。通过使用寄存器变量，使用了指针，在做了一定的底层循环展开之后，达到了红色线的性能，已经比蓝色线有了明显的提升，但是这个还不算完，只是一个基础。但是在1*4的层面，已经没什么油水可挖了，所以我们需要在更上层找一些方法。
在1*4的时候，A的值产生了一些重用，但是如果块再放大一点，比如说变成4*4时，也就是说每次计算的时候算的是一个方块，而不是列。这个对于整个的优化来说，可以复用你的访存，而且能够更充分的发挥计算能力。
当我们变成小的这种4*4的方块时，AddDot函数也要写成这个模式。当然，这部分也要用刚才做过的那些1*4的方法，A这边之前是1个值，现在是4个值，用寄存器的变量，C部分已经是4*4共有16个，也全都是寄存器变量，B的部分全部用指针来优化。
但这样做的话，对于整体的性能提升是比较有限的。因为这只是一个初始的结果，可以看到，对于小矩阵，在cache范围内，没有什么起色。但是超过cache后，对于大规模的矩阵，是有了一定性能提升。
在以4*4的结果优化基础上，我们可以再做进一步的优化和开发。为什么要转换成4*4的优化，是因为我们现在CPU的处理器，基本上想获得高的性能，必须要用向量化指令，不管是老的SSE2，AVX或者AVX 2.0等，对于CPU的优化，如果想达到高性能，必须要用到单指令多数据的向量化指令。
做了4*4的分块之后，在这种情况下，会更有利于向量指令。在这里以向量指令重写了这部分循环的内容，当然这部分指令我没有任何的内嵌汇编或者纯汇编的操作，我就直接用了Intel Intrinsic的形式来写，可以看到这部分写的就是一个128位的sse，这是做一个双精度浮点double的一个矩阵，数据都是double的，从A里把这两个值load进来。后两个load进这个向量寄存器里，B部分每次都要用load复制的这种指令load进去，剩下的这块基本都是用向量的Intrinsic的变量来做了操作，在这块跟之前看起来差不多，所以在编译的时候都变成了向量化的指令。这两行就算前部分C的值，这部分就算后部分C的值。
通过这种向量寄存器的指令使用后，他的性能提升非常明显，从刚才4G可以达到超过6G ，而且这一部分是一个整体的变化，cache内向量加速效果是非常明显的，基本上是翻了一倍。
下一步需要解决的是这个cache的问题，问题是没有做大的分块，超过cache大小之后性能就会下滑，要解决这个问题的话，需要在更上一层做Blocking。
转换成代码的话，在这一层做一个K的切分，下面一层做一个m的切分，至于kc和mc都是参数。这些参数都是可调的，都要根据L2 cache的大小进行调整，然后每次做的是一个小块c的矩阵乘，相当于一个子问题，这个子问题的实现基本和刚才4*4的实现是一样的。
这一部分blocking做完的性能如图所示，蓝色的线是没有做Blocking的性能，红色线是做过之后。当问题规模在cache内，它的性能改善基本比较小，但是当大规模的矩阵，通过做了这次Blocking之后，可以看到获得了非常明显的提升，变快了2倍。
对于大矩阵，为了充分的利用cache，让子问题变小，提升它的数据局部性，在做其他问题优化的时候也很有必要的。下一步当我们做到blocking的时候，如果只是代码级别变化的时候，基本已经做完了。
此后再进一步优化的点，引入引入一些操作。当我们分析程序存在的性能瓶颈，对于A的访存和B的访存是比较慢，很多访存在矩阵中是不连续的，所以访存性能就差了很多，一方面不能利用cache，一方面在TLB上也有影响，当然C部分也有一些影响，C矩阵往往很大，没有办法做packing，只能对A和B来做，packing的意思是说，我在这里有一部分连续的内存空间，m*k，对应前面的mc和kc，在这块内存空间，在每次做计算之前，我把所需要用到的A的矩阵，从原始矩阵读取出来，存放到连续的一块内存空间里。 Packed Matrix A这个函数的具体实现非常简单，基本上就是从对应的位置取出来，放在连续的内存地址就结束。
为什么会做这步操作呢？这步操作的意义在于，通过pack之后，下一步AddDot4*4里读的元素就不是从A矩阵读，而是从pack后缓存区的位置读。一个好处是，A矩阵已经预热，放进CPU的cache里了；第二个好处是，你可以看到我在存储的时候，这种连续性的存储，读的时候也是连续性读取，效率会非常高，cache效率也非常高。加上通过pack这一步，对于性能的改善，是非常明显的。
这张图是上一步的操作，做了packing之后，除了极小矩阵规模没什么效果，或者引入了额外开销，效果还变差之外，绝大部分的性能提升是非常明显的，有50%以上，达到了9GFlop/s。
对于矩阵乘法实现的话，packing矩阵是一个非常重要的优化方式。再往后大家会想，对于A来说做了Packing，对于B是不是也能做Packing，同样道理也是可以的，就是把它拷贝到一个连续空间。B部分的Packing操作和A部分类似，也是把它的数据从原始矩阵里读出来，然后放到一个连续空间里，使它的内存访问做连续的访存。当然这部分，因为B访存是个流式的访存，所以在这部分的改进会稍微小一点，相比A只有大概10%左右的提升。
对于矩阵乘法实现的话，packing矩阵是一个非常重要的优化方式。再往后大家会想，对于A来说做了Packing，对于B是不是也能做Packing，同样道理也是可以的，就是把它拷贝到一个连续空间。B部分的Packing操作和A部分类似，也是把它的数据从原始矩阵里读出来，然后放到一个连续空间里，使它的内存访问做连续的访存。当然这部分，因为B访存是个流式的访存，所以在这部分的改进会稍微小一点，相比A只有大概10%左右的提升。
当你完成到这一步的时候，相比最开始三重循环的性能改进，你的矩阵乘法的性能已经有很明显的提升了。你如果想做的更好的话，内部的核心可能不止要写intrinsic的指令，还要写内嵌汇编，重排流水线，使硬件资源能够发挥更多，可能还会提升10%。当然这部分对实现BLAS比较重要，会抠的比较细。
我们再整体回顾一下矩阵乘法的算法，我把算法的这部分放到最后，从开始一步步实现之后，做到最后大家可能看的比较清楚一些。A矩阵*B矩阵得到C矩阵，对应的是最外层的循环，每一步往下的时候，其实都是在做分块，做分块的原因刚才有提到，就是为了配合硬件结构，因为memory、cache等都是分层的，它是越来越小的，做分块实际上是提高了cache的各层的利用率。
今天就分享到这里，谢谢大家。
问题1：什么是访存优化？
张先轶：访存优化解决的是处理器读取数据的性能。从计算上来说，是相对好优化的，但是优化访存会非常困难，稠密矩阵乘法的数据还是相对规整的，读数据的顺序是有规则的，更容易优化一些。但是我们也做过很多稀疏矩阵的优化，比如稀疏矩阵乘向量的优化，这个对访存来说更困难一些，因为没有办法预测到下一次访存在什么位置，这造成了优化的困难。
问题2：OpenBLAS和其他矩阵库有什么关系？
张先轶：OpenBLAS和其他BLAS实现其实都是完成了接口，BLAS只是接口的定义，具体来说可以有多种实现。我们认为我们OpenBLAS在开源的实现是非常好的。如果是标准BLAS，有参考实现，只是一个非常简单的Fortran实现，性能很差的，我们要比他们快很多。MKL是Intel公司自己做的BLAS，我们跟他们相当。Engien我们没有完全测过，它号称自己做的很好，但是他们的做法在X86的平台可能有些效果，但是对其他平台的效果我表示怀疑。不过我没有具体做对比测试，所以发言权不大。
问题3：从入门到精通需要多久？
张先轶：如果我指导的话，几个月时间就可以上手做一些事情。欢迎大家。
问题4：比起高通的库表现如何？
张先轶：说实话高通的库没有测过，我觉得它号称比较快，是因为在32位的ARM上，我们OpenBLAS没有做向量化优化，高通的那个部分做了，所以它可能会比我们快一些，但是在我们公司内部的PerfBLAS是优化了的。
问题5：分块的目的是什么？
张先轶：就是优化访存，通过分块之后让访存都集中在一定区域，能够提高了数据局部性，从而提高cache利用率，性能就会更好。
问题6：硬件不给力能玩神经网络么？
张先轶：我们给出的一个数据是，我们在ARM CortexA57的平台上，4核1.7GHz，跑AlexNet模型，一张图是150ms，这个速度还算比较快。另一方面我们还在做一些其他的模型，做了精简优化，再配合底层库的优化。在某个小模型下，在跑一张小图片的inference只用了50ms。所以，在ARM的处理器上，还是可以做到实时本地化的神经网络inference。
问题7：内部版本和开源版本差别大么？
张先轶：内部版本是针对深度学习做了一些差异化处理，性能高的可能会到1倍多，这部分的优化，一部分是矩阵的规模，和刚才讲的做方阵不一样，深度学习的矩阵大部分是中小型，某个维度会比较小，要用到的优化策略，或者分块策略会不一样，甚至有时候特别小根本不用分块或packing，直接做可能更好一些。
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王刚